Question

6．設$f（x）=\frac{2}{{{2^x}+1}}+m，x∈R，m$為常數．
（1）若f（x）為奇函數，求實數m的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并用單調性的定義予以證明；
（3）求f（x）在（-∞，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）法一：由函數f（x）為奇函數，f（0）=0求出m．
法二：利用函數f（x）為奇函數，通過f（-x）=-f（x），化簡求解可得m=-1．
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用單調性的定義，證明f（x₁）＞f（x₂）即可．
（3）利用函數f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，求解函數的最小值．

解答 解：（1）法一：由函數f（x）為奇函數，得f（0）=0即m+1=0，
所以m=-1…（4分）
法二：因為函數f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0…（2分）
∴$f（{-x}）+f（x）=（{m+\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}}）+（{m+\frac{2}{{{2^x}+1}}}）=2m+（{\frac{2}{{\frac{1}{2^x}+1}}+\frac{2}{{{2^x}+1}}}）$=$2m+（{\frac{{2•{2^x}}}{{1+{2^x}}}+\frac{2}{{{2^x}+1}}}）=2m+\frac{{2•（{{2^x}+1}）}}{{1+{2^x}}}=2m+2=0$，
所以m=-1…（4分）
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂…（5分）
則有$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{m+\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}}）-（{m+\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}}）=\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}=\frac{{2•（{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）•（{{2^{x_2}}+1}）}}$…（8分）
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，∴${2^{x_2}}+1＞0$，∴${2^{x_1}}+1＞0$，f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）…（9分）
所以，對任意的實數m，函數f（x）在（-∞，+∞）上是減函數…（10分）
（3）∵函數f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，
∴函數f（x）在（-∞，-1]上為減函數，…（11分）
∴當x=-1時，$f{（x）_{min}}=f（{-1}）=\frac{4}{3}+m$…（12分）

點評 本題考查函數的奇偶性以及函數的單調性的綜合應用，函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．