Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{6}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，若$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrowp9vv5xb5$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，則$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrowp9vv5xb5$上的投影是（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 依題意，可求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrowp9vv5xb5$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=-2，及|$\overrightarrowp9vv5xb5$|=1，于是可求$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrowp9vv5xb5$上的投影$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5}{|\overrightarrowp9vv5xb5|}$=$\frac{-2}{1}$=-2．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{6}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{6}$=1×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
又$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrowp9vv5xb5$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrowp9vv5xb5$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-3=-2，
又${\overrightarrowp9vv5xb5}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-2×1×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+3=1，
∴|$\overrightarrowp9vv5xb5$|=1，
∴$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrowp9vv5xb5$上的投影為$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5}{|\overrightarrowp9vv5xb5|}$=$\frac{-2}{1}$=-2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，熟練應(yīng)用$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrowp9vv5xb5$上的投影為$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrowp9vv5xb5}{|\overrightarrowp9vv5xb5|}$進(jìn)行運(yùn)算是關(guān)鍵，屬于中檔題．