Question

2．已知關于x的方程：${log_2}（x+3）-{log_{2^2}}{x^2}=a$在區間（3，4）內有解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $[{log_2}\frac{7}{4}，+∞）$
• B． $（{log_2}\frac{7}{4}，+∞）$
• C． $（{log_2}\frac{7}{4}，1）$
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 關于x的方程log₂（x+3）-log_2²x²=a在區間（3，4）內有解，即方程log₂$\frac{x+3}{x}$=log₂（1+$\frac{3}{x}$）=a在區間（3，4）內有解，令f（x）=log₂$\frac{x+3}{x}$，分析f（x）在區間（3，4）上的值域，可得答案．

解答 解：關于x的方程：${log_2}（x+3）-{log_{2^2}}{x^2}=a$在區間（3，4）內有解，
即方程log₂（x+3）-log₂x=a在區間（3，4）內有解，
即方程log₂$\frac{x+3}{x}$=log₂（1+$\frac{3}{x}$）=a在區間（3，4）內有解，
令f（x）=log₂$\frac{x+3}{x}$=log₂（1+$\frac{3}{x}$），則f（x）在區間（3，4）上為減函數，
故1+$\frac{3}{x}$∈（$\frac{7}{4}$，2），
故a∈$（{log_2}\frac{7}{4}，1）$．
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數零點與方程的根，轉化思想，難度中檔．