Question

20．在希臘數學家海倫的著作《測地術》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三條邊長求三角形面積，若三角形的三邊長為a，b，c，其面積$S=\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$，這里$p=\frac{1}{2}（a+b+c）$．已知在△ABC中，BC=6，AB=2AC，則△ABC面積的最大值為12．

Answer 1

分析 設b=x，則c=2x，根據海倫面積公式得S_△ABC=$\sqrt{144-\frac{9}{16}（{x}^{2}-20）^{2}}$，由三角形三邊關系求得2＜x＜6，由二次函數的性質求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：∵a=6，設b=x，則c=2x，可得：$p=\frac{1}{2}（a+b+c）$=3+$\frac{3x}{2}$，
∴$S=\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$
=$\sqrt{（3+\frac{3x}{2}）（\frac{3x}{2}-3）（3+\frac{1}{2}x）（3-\frac{1}{2}x）}$
=$\sqrt{-\frac{9{x}^{4}}{16}+\frac{45{x}^{2}}{2}-81}$
=$\sqrt{144-\frac{9}{16}（{x}^{2}-20）^{2}}$
由三角形三邊關系有：x+2x＞6且x+6＞2x，解得：2＜x＜6，
故當 x=2$\sqrt{5}$時，S_△ABC取得最大值12．
故答案為：12．

點評 本題主要考查了二次函數的性質和海倫面積公式在解三角形中的應用．當涉及最值問題時，可考慮用函數的單調性和定義域等問題，考查了轉化思想，屬于中檔題．