Question

11．在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+2n-1，則數列{a_n}的前100項和S₁₀₀為（　　）

• A． 3⁹⁹-5051
• B． 3¹⁰⁰-5051
• C． 3¹⁰¹-5051
• D． 3¹⁰²-5051

Answer 1

分析 由a_n+1=3a_n+2n-1得a_n+1+（n+1）=3（a_n+n），可得數列{a_n+n}是以a₁+1=2為首項，公比為3的等比數列⇒a_n=2•3^n-1-n，則s_n=2（3⁰+3¹+3²+…+3⁹⁹）-（1+2+…+100）即可．

解答 解：由a_n+1=3a_n+2n-1得a_n+1+（n+1）=3（a_n+n），
∴數列{a_n+n}是以a₁+1=2為首項，公比為3的等比數列．
∴${a}_{n}+n=2•{3}^{n-1}$，⇒a_n=2•3^n-1-n，
則S_n=2（3⁰+3¹+3²+…+3⁹⁹）-（1+2+…+100）
=2×$\frac{1×（1-{3}^{100}）}{1-3}-\frac{100（1+100）}{2}$=3¹⁰⁰-5051，
故選：B．

點評 本題考查了數列的遞推式，等比數列的求和，屬于中檔題．