Question

20．已知定義在區間$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的函數f（x）=2asin2x+b的最大值為1，最小值為-5，則實數a+b的值為-$\frac{1}{2}$或-$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 設g（x）=2asin2x，則g（x）是x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的奇函數，
討論a＞0和a＜0時，求出g（x）的最大、最小值，得出f（x）的最大、最小值，
求出a、b的值，再計算a+b．

解答 解：設g（x）=2asin2x，x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，
則g（x）是x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的奇函數，
當a＞0時，g（x）的最大值是g（$\frac{π}{4}$）=2a•sin（2×$\frac{π}{4}$）=2a，
最小值是g（-$\frac{π}{4}$）=2a•sin（-$\frac{π}{2}$）=-2a，
∴函數f（x）=2asin2x+b的最大值為2a+b=1，
最小值為-2a+b=-5，
解得a=$\frac{3}{2}$，b=-2，
∴a+b=-$\frac{1}{2}$；
當a＜0時，g（x）的最小值是g（$\frac{π}{4}$）=2a•sin（2×$\frac{π}{4}$）=2a，
最大值是g（-$\frac{π}{4}$）=2a•sin（-$\frac{π}{2}$）=-2a，
∴函數f（x）=2asin2x+b的最大值為-2a+b=1，
最小值為2a+b=-5，
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=-2，
∴a+b=-$\frac{7}{2}$；
綜上，a+b的值為-$\frac{1}{2}$或-$\frac{7}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$或-$\frac{7}{2}$

點評 本題考查了正弦函數的單調性與奇偶性的應用問題，也考查了函數的最值與解方程組的應用問題，是中檔題．