Question

10．已知函數f（x）=ax²+（a-2）x-2，a∈R．
（1）若關于x的不等式f（x）≤0的解集為[-1，2]，求實數a的值；
（2）當a＜0時，解關于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）問題轉化為方程ax²+（a-2）x-2=0有兩根且分別為-1，2，得到關于a的方程，解出即可；
（2）問題轉化為（x+1）（ax-2）≤0，通過討論a的范圍，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）因為不等式ax²+（a-2）x-2≤0的解集為[-1，2]，
所以方程ax²+（a-2）x-2=0有兩根且分別為-1，2，
所以△=（a-2）²-4a•（-2）≥0且-1×2=$\frac{-2}{a}$，解得：a=1；
（2）由ax²+（a-2）x-2≤0，得（x+1）（ax-2）≤0，
當-2＜a＜0時，解集為{x|x≤$\frac{2}{a}$或x≥-1}，
當a=-2時，解集為R；  
當a＜-2時，解集為{x|x≤-1或x≥$\frac{2}{a}$}．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查轉化思想，是一道中檔題．