Question

18．函數f（x）=-4x³+kx，對任意的x∈[-1，1]，總有f（x）≤1，則實數k的取值為3．

Answer 1

分析 通過討論x的范圍問題轉化為k≤4x²+$\frac{1}{x}$在（0，1]恒成立且k≥4x²+$\frac{1}{x}$在[-1，0）恒成立，求出a的值即可．

解答 解：由題意得：kx≤4x³+1在[-1，1]恒成立，
x=0時，顯然成立，
x∈（0，1]時，問題轉化為k≤4x²+$\frac{1}{x}$在（0，1]恒成立，
令g（x）=4x²+$\frac{1}{x}$，x∈（0，1]，
g′（x）=$\frac{{8x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
令g′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$，
故g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，1]遞增，
故g（x）_min=g（$\frac{1}{2}$）=3，
故k≤3，
x∈[-1，0）時，問題轉化為k≥4x²+$\frac{1}{x}$在[-1，0）恒成立，
令h（x）=4x²+$\frac{1}{x}$，x∈[-1，0），
g′（x）=$\frac{{8x}^{3}-1}{{x}^{2}}$＜0，
故g（x）在[-1，0）遞減，
故g（x）_max=g（-1）=3，
故k≥3，綜上k=3，
故答案為：3．

點評 本題考查了函數恒成立問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．