Question

8．如圖，OA、OB是兩條公路（近似看成兩條直線），$∠AOB=\frac{π}{3}$，在∠AOB內有一紀念塔P（大小忽略不計），已知P到直線OA、OB的距離分別為PD、PE，PD=6千米，PE=12千米．現經過紀念塔P修建一條直線型小路，與兩條公路OA、OB分別交于點M、N．
（1）求紀念塔P到兩條公路交點O處的距離；
（2）若紀念塔P為小路MN的中點，求小路MN的長．

Answer 1

分析 （1）設∠POA=α，分別在△OPD和△OPE中用α表示出OP，解方程即可得出α，從而求出OP的長；
（2）設∠PMO=θ，分別表示出PM，PN，解方程得出θ，從而得出MN的長．

解答 解：（1）設∠POA=α，則$∠POB=\frac{π}{3}-α$，
∵PD=6，PE=12，
∴$OP=\frac{6}{sinα}=\frac{12}{{sin（\frac{π}{3}-α）}}$，
∴$2sinα=sin（\frac{π}{3}-α）$，化簡得$tanα=\frac{{\sqrt{3}}}{5}$，
又sin²α+cos²α=1，∴$sinα=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{7}}}$，
∴$OP=\frac{6}{sinα}=4\sqrt{21}$．
∴紀念塔P到兩條公路交點O處的距離為4$\sqrt{21}$千米．
（2）設∠PMO=θ，則∠PNO=$\frac{2π}{3}$-θ，
∵P為MN的中點，即PM=PN，
∴$\frac{6}{sinθ}=\frac{12}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}$，
即$sin（\frac{2π}{3}-θ）=2sinθ$，解得$θ=\frac{π}{6}$，
∴$MN=2PM=\frac{12}{{sin\frac{π}{6}}}=24$．
∴小路MN的長為24千米．

點評 本題考查了解三角形的應用，屬于基礎題．