Question

16．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=2-2S_n，數列{b_n}為等差數列，且b₅=14，b₇=20．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n∈N^*，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數列的遞推式：當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}為等差數列，公差為d，運用等差數列的通項公式，結合條件，解方程可得首項和公差，即可得到b_n，求出c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ．運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）∵a_n=2-2S_n，當n=1時，a₁=2-2a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$；
當n≥2時，a_n-1=2-2S_n-1，
∴a_n-a_n-1=2-2S_n-（2-2S_n-1）=-2a_n，
化為3a_n=a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，首項為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$，
可得：a_n=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=2•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，n∈N^*；
（2）數列{b_n}為等差數列，公差為d且b₅=14，b₇=20．
可得b₁+4d=14，b₁+6d=20，
解得b₁=2，d=3，
可得b_n=b₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1，n∈N^*；
c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
前n項和T_n=2[2•（$\frac{1}{3}$）+5•（$\frac{1}{3}$）²+7•（$\frac{1}{3}$）³+…+（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ]，
$\frac{1}{3}$T_n=2[2•（$\frac{1}{3}$）²+5•（$\frac{1}{3}$）³+7•（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹]，
相減可得$\frac{2}{3}$T_n=2[$\frac{2}{3}$+2•（$\frac{1}{3}$）²+2•（$\frac{1}{3}$）³+…+2•（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹]
=2[$\frac{2}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹]，
化簡可得T_n=$\frac{7}{2}$-$\frac{7+6n}{2•{3}^{n}}$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，注意運用數列遞推式和等差數列的通項公式，考查數列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．