Question

11．在△ABC中，若sin²B+$\sqrt{2}sinBsinC={sin^2}A-{sin^2}$C，則A的值為$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡已知的等式，得到關于a，b及c的關系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出的關系式變形后代入求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數．

解答 解：根據正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
化簡已知的等式得：b²+$\sqrt{2}$bc=a²-c²，即b²+c²-a²=-$\sqrt{2}$bc，
∴根據余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{3π}{4}$．
故答案為：$\frac{3π}{4}$．

點評 此題考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函數值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵，屬于基礎題．