Question

20．環境監測中心監測我市空氣質量，每天都要記錄空氣質量指數（指數采取10分制，保留一位小數）．現隨機抽取20天的指數（見下表），將指數不低于8.5視為當天空氣質量優良．

天數	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
空氣質量指數	7.1	8.3	7.3	9.5	8.6	7.7	8.7	8.8	8.7	9.1

天數	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
空氣質量指數	7.4	8.5	9.7	8.4	9.6	7.6	9.4	8.9	8.3	9.3

（Ⅰ）求從這20天隨機抽取3天，至少有2天空氣質量為優良的概率；
（Ⅱ）以這20天的數據估計我市總體空氣質量（天數很多）．若從我市總體空氣質量指數中隨機抽取3天的指數，用X表示抽到空氣質量為優良的天數，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （I）根據組合數公式計算所有可能的情況種數，得出答案；
（II）根據二項分布的概率計算公式得出分布列，再計算數學期望．

解答 解：（I）由表中數據可知20天中，空氣質量優良的天數是12天，
∴從這20天隨機抽取3天，至少有2天空氣質量為優良的概率為P=$\frac{{{C}_{12}^{2}C}_{8}^{1}{+C}_{12}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{187}{285}$．
（II）任意抽取1天，則該天空氣質量優良的概率為$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，
故X服從二項分布X～B（3，$\frac{3}{5}$），
∴P（X=0）=（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{3}{5}$×（$\frac{2}{5}$）²=$\frac{36}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{3}{5}$）²×$\frac{2}{5}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}×$（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴E（X）=0×$\frac{8}{125}$+1×$\frac{36}{125}$+2×$\frac{54}{125}$+3×$\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望，屬于中檔題．