Question

1．已知銳角△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$\overrightarrow m$=（a，b+c），$\overrightarrow n=（{1，cosC+\sqrt{3}sinC}），\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（1）求角A；
（2）若a=3，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，結合正弦定理，通過B=π-A-C，化簡表達式利用兩角和與差的三角函數推出$sin（{A-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$銳角求解A．
（2）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數，結合B的范圍，求解三角形的面積的范圍即可．

解答 解：（1）由$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，得$acosC+\sqrt{3}asinC-b-c=0$…（1分）
由正弦定理得$sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC-sinB-sinC=0$…（2分）
因為B=π-A-C
所以$sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC-sin（{A+C}）-sinC=0$
所以$\sqrt{3}sinAsinC-cosAsinC-sinC=0$
由于sinC≠0，所以$sin（{A-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$…（4分）
由$0＜A＜\frac{π}{2}$，得$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{3}$，故$A=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）由$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{3}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2\sqrt{3}$，得$b=2\sqrt{3}sinB，c=2\sqrt{3}sinC$，…（7分）
所以$bc=12sinBsinC=12sinBsin（{B+\frac{π}{3}}）=6si{n^2}B+6\sqrt{3}sinBcosB$=$6sin（{2B-\frac{π}{6}}）+3$                    …（9分）
由△ABC為銳角三角形，所以$\left\{\begin{array}{l}0＜B＜\frac{π}{2}\\ 0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，得$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，
所以$\frac{π}{6}＜2B-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，$\frac{1}{2}＜sin（{2B-\frac{π}{6}}）≤1$，
故6＜bc≤9，…（11分）
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，
所以，△ABC面積的取值范圍為$（{\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{{9\sqrt{3}}}{4}}]$．…（12分）

點評 本題考查正弦定理的應用，兩角和與差的三角函數，考查計算能力．