Question

4．已知函數f（x）=x²-cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，則滿足f（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）的x₀的取值范圍為[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 先充分考慮函數f（x）=x²-cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的性質，為偶函數，其圖象關于y軸對稱，故考慮函數[0，$\frac{π}{2}$]區間上的情形，利用導數可得函數在[0，$\frac{π}{2}$]單調遞增，再結合f（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）和對稱性即可得x₀的取值范圍．

解答 解：注意到函數f（x）=x²-cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]是偶函數，
故只需考慮[0，$\frac{π}{2}$]區間上的情形．
 當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f′（x）=2x+sinx≥0，
∴函數在[0，$\frac{π}{2}$]單調遞增，
所以f（x₀）＞f（$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上的解集為（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
結合函數是偶函數，圖象關于y軸對稱，
得原問題中x₀取值范圍是[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
故答案為：[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

點評 這是一個常見考型，應引起足夠重視．填寫答案時，應注意區間的閉、開問題，注意規范答題，否則將可能因為表述問題而失去已到手的分．