Question

13．已知實(shí)數(shù)a，b滿足a²+4b²=4．
（1）求證：a$\sqrt{1+{b}^{2}}$≤2；
（2）若對(duì)任意a，b∈R，．|x+1|-|x-3|≤ab恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式證明；
（2）利用基本不等式求出ab的最小值，得出|x+1|-|x-3|≤-1，再討論x的范圍解出x．

解答 證明：（1）a$\sqrt{1+{b}^{2}}$≤|a|$\sqrt{1+{b}^{2}}$≤$\frac{|a|\sqrt{4+4{b}^{2}}}{2}$≤$\frac{{a}^{2}+4+4{b}^{2}}{4}$=2．
當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且a²=4+4b²時(shí)取等號(hào)．
（2）∵a²+4b²=4≥2$\sqrt{4{a}^{2}{b}^{2}}$=4|ab|，
∴|ab|≤1，∴ab≤-1恒成立．
∵對(duì)任意a，b∈R，|x+1|-|x-3|≤ab恒成立，
∴|x+1|-|x-3|≤-1恒成立．
若x≤-1，則不等式為-x-1-（3-x）≤-1，不等式恒成立；
若-1＜x＜3，不等式為x+1-（3-x）≤-1，解得-1＜x$≤\frac{1}{2}$，
若x≥3，不等式為x+1-（x-3）≤-1，不等式無解．
綜上，x的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查 了不等式的證明，絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．