Question

3．已知函數f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0且a≠1）是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）判斷函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性并說明理由；
（3）當x∈（n，a-2）時，函數f（x）的值域為（1，+∞），求實數n，a的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由函數奇偶性的性質可得f（x）+f（-x）=0，即log_a$\frac{1-mx}{x-1}$+log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=0，結合對數的運算性質可得（$\frac{1-mx}{x-1}$）（$\frac{1+mx}{-x-1}$）=1，解可得m的值，驗證即可得答案；
（2）由（1）可得函數的解析式，設x₁＞x₂＞1，結合對數的運算性質可得f（x₁）-f（x₂）=log_a（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-1+{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}-1+{x}_{1}{x}_{2}}$），分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論f（x₁）-f（x₂）的符號，綜合可得答案；
（3）由（1）可得函數的解析式，進而求出函數f（x）的定義域，分n＜a-2＜-1和1＜n＜a-2兩種情況討論，求出a、n的值，即可得答案．

解答 解：（1）根據題意，函數f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0且a≠1）是奇函數，
則有f（x）+f（-x）=0，
即log_a$\frac{1-mx}{x-1}$+log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=0，
則有log_a（$\frac{1-mx}{x-1}$）（$\frac{1+mx}{-x-1}$）=0，
即（$\frac{1-mx}{x-1}$）（$\frac{1+mx}{-x-1}$）=1，
解可得：m=±1，
當m=1時，f（x）=log_a$\frac{1-x}{x-1}$，沒有意義，
故m=-1，
（2）由（1）可得：m=-1，即f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$，
設x₁＞x₂＞1，
f（x₁）-f（x₂）=log_a$\frac{1+{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$-log_a$\frac{1+{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=log_a$\frac{（1+{x}_{1}）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（1+{x}_{2}）}$=log_a（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-1+{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}-1+{x}_{1}{x}_{2}}$），
又由x₁＞x₂＞1，
則0＜$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-1+{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}-1+{x}_{1}{x}_{2}}$＜1，
當a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，則函數f（x）為減函數，
當0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，則函數f（x）為增函數，
（3）由（1）可得：m=-1，即f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$，
其定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
當n＜a-2＜-1時，有0＜a＜1，
此時函數f（x）為增函數，有$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{1+n}{1-n}=1}\\{a-2=-1}\end{array}\right.$，無解；
當1＜n＜a-2時，有a-2＞1，即a＞3，
此時函數f（x）為減函數，有$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{lo{g}_{a}\frac{a-1}{a-3}=1}\end{array}\right.$，解可得a=2+$\sqrt{3}$；
故n=1，a=2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查函數奇偶性、單調性的性質以及應用，關鍵是求出m的值．