Question

8．已知sinα=$\frac{3}{5}，α∈（{\frac{π}{2}，π}）$．
（1）求$sin（{\frac{π}{3}+α}）$的值；
（2）求$cos（{\frac{π}{4}-2α}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出cosα，展開兩角和的正弦求$sin（{\frac{π}{3}+α}）$的值；
（2）由（1）求出sin2α，cos2α的值，再由兩角差的余弦得答案．

解答 解：（1）∵α∈（$\frac{π}{2}，π$），sinα=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=-\frac{4}{5}$．
∴$sin（{\frac{π}{3}+α}）$=sin$\frac{π}{3}$cosα+cos$\frac{π}{3}$sinα
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{4}{5}）+\frac{1}{2}×\frac{3}{5}=\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$；
（2）∵sin2α=2sinαcosα=$-\frac{24}{25}$，
cos2α=cos²α-sin²α=$\frac{7}{25}$，
∴$cos（{\frac{π}{4}-2α}）$=$cos\frac{π}{4}cos2α+sin\frac{π}{4}sin2α$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{7}{25}+\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{24}{25}）=-\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查了兩角和與差的三角函數(shù)，是基礎(chǔ)題．