Question

19．在平面直角坐標系xoy中，角θ滿足$sin\frac{θ}{2}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}，cos\frac{θ}{2}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，\overrightarrow{OA}=（{12，5}）$，設點B是角θ終邊上的一個動點，則$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$的最小值為$\frac{56}{5}$．

Answer 1

分析 求出sinθ，cosθ，設OB=a，得出B點坐標，從而可得|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|關于a的表達式，利用二次函數的性質求出最小值．

解答 解：方法1：sinθ=2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=-$\frac{3}{5}$，cosθ=cos²$\frac{θ}{2}$-sin²$\frac{θ}{2}$=$\frac{4}{5}$，
設OB=a，則B（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a），
∴$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=（12-$\frac{4a}{5}$，5+$\frac{3a}{5}$），
∴|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{（12-\frac{4a}{5}）^{2}+（5+\frac{3a}{5}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{66}{5}a+169}$=$\sqrt{（a-\frac{33}{5}）^{2}+\frac{3136}{25}}$，
∴當a=$\frac{33}{5}$時，|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|取得最小值$\sqrt{\frac{3136}{25}}$=$\frac{56}{5}$．
方法2：由方法1可知B點在射線3x+4y=0（x＞0），
∴$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$的最小值為A到射線3x+4y=0（x＞0）的距離d=$\frac{36+20}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{56}{5}$．
故答案為：$\frac{56}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的模長計算，屬于中檔題．