Question

12．已知${（{\sqrt{2}x+\root{3}{3}y+z}）^6}$的展開式中，系數為有理數的項的個數為（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 根據乘方的定義，分類討論求得系數為有理數的項的個數．

解答 解：∵${（{\sqrt{2}x+\root{3}{3}y+z}）^6}$的表示6個因式（$\sqrt{2}$x+$\root{3}{3}$y+z）的乘積，
要使展開式的系數為有理項，
則有以下幾種情況：①6個因式都取$\sqrt{2}$x；②6個因式都取$\root{3}{3}$y；③6個因式都取z；
④有4個因式取$\sqrt{2}$x、另外2個因式取z；⑤有3個因式取$\root{3}{3}$y、另外3個因式取z；
⑥2個因式取$\sqrt{2}$x，其余的4個因式取z；⑦2個因式取$\sqrt{2}$x、另外3個因式取$\root{3}{3}$y，一個因式取z，
故系數為有理數的項的個數為7，
故選：D．

點評 本題考查了二項式定理的應用，考查了分類討論方法推理能力與計算能力，屬于基礎題．