Question

17．已知P是圓x²+y²=1上的一動點，AB是圓（x-5）²+（y-12）²=4的一條動弦（A，B是直徑的兩個端點），則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[140，192]．

Answer 1

分析 設出P、A、B坐標，求出兩個向量，然后計算數量積，利用兩角和與差的三角函數化簡求解表達式的最值即可．

解答 解：設P（cosα，sinα），A（5+2cosβ，12+2sinβ），則B（5-2cosβ，12-2sinβ），
則$\overrightarrow{PA}$=（5+2cosβ-cosα，12+2sinβ-sinα），$\overrightarrow{PB}$=（5-2cosβ-cosα，12-2sinβ-sinα），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（5+2cosβ-cosα）（5-2cosβ-cosα）+（12+2sinβ-sinα）（12-2sinβ-sinα）
=166-10cosα-24sinα=166-26sin（α+φ），
∵-1≤sin（α+φ）≤1，
∴140≤$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤192．
故答案為：[140，192]．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，參數方程的應用，三角恒等變換，考查轉化思想以及計算能力，屬于中檔題．