Question

15．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）$（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}，x∈R）$的圖象如圖所示，令g（x）=f（x）+f'（x），則下列關于函數g（x）的說法中不正確的是（　　）

• A． 函數g（x）圖象的對稱軸方程為$x=kπ-\frac{π}{12}（k∈Z）$
• B． 函數g（x）的最大值為$2\sqrt{2}$
• C． 函數g（x）的圖象上存在點P，使得在P點處的切線與直線l：y=3x-1平行
• D． 方程g（x）=2的兩個不同的解分別為x₁，x₂，則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 根據函數f（x）的圖象求出A、T、ω和φ的值，寫出f（x）的解析式，求出f′（x），寫出g（x）=f（x）+f′（x）的解析式，再判斷題目中的選項是否正確．

解答 解：根據函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象知，
A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=2π，ω=$\frac{2π}{T}$=1；
根據五點法畫圖知，
當x=$\frac{π}{6}$時，ωx+φ=$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）；
∴f′（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=f（x）+f′（x）
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2cos（x+$\frac{π}{3}$）
=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{7π}{12}$）；
令x+$\frac{7π}{12}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x=-$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函數g（x）的對稱軸方程為x=-$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，A正確；
當x+$\frac{7π}{12}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z時，函數g（x）取得最大值2$\sqrt{2}$，B正確；
g′（x）=2$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{7π}{12}$），
假設函數g（x）的圖象上存在點P（x₀，y₀），使得在P點處的切線與直線l：y=3x-1平行，
則k=g′（x₀）=2$\sqrt{2}$cos（x₀+$\frac{7π}{12}$）=3，
解得cos（x₀+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$＞1，顯然不成立，
所以假設錯誤，即C錯誤；
方程g（x）=2，則2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{7π}{12}$）=2，
∴sin（x+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x+$\frac{7π}{12}$=$\frac{π}{4}$+2kπ或x+$\frac{7π}{12}$=$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z；
∴方程的兩個不同的解分別為x₁，x₂時，
|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$，D正確．
故選：C．

點評 本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定解析式，也考查了導數的應用以及命題真假的判斷問題，是難題．