Question

5．已知數列{a_n}是首項為正數的等差數列，a₁•a₂=3，a₂•a₃=15．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設數列{a_n}的公差為d，由a₁•a₂=3，a₂•a₃=15．解得a₁=1，d=2，即可得a_n=2n-1．
（2）由（1）知b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$=2n•2^2n-4=n•4ⁿ，利用錯位相減法求和即可

解答 解：（1）設數列{a_n}的公差為d，
因為a₁•a₂=3，a₂•a₃=15．
解得a₁=1，d=2，所以a_n=2n-1．
（2）由（1）知b_n=（a_n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$=2n•2^2n-4=n•4ⁿ，
   T_n=1•4¹+2•4²+3•4³+…+n•4ⁿ．
4T_n=1•4²+2•4³+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
兩式相減，得-3T_n=4¹+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{1-3n}{3}×{4}^{n-1}-\frac{4}{3}$，
所以T_n=$\frac{4+（3n-1）•{4}^{n+1}}{9}$．

點評 本題考查了等差數列的通項，考查了錯位相減法求和，屬于中檔題．