Question

3．天氣預報是氣象專家根據預測的氣象資料和專家們的實際經驗，經過分析推斷得到的，在現實的生產生活中有著重要的意義．某快餐企業的營銷部門經過對數據分析發現，企業經營情況與降雨天數和降雨量的大小有關．
（Ⅰ）天氣預報說，在今后的三天中，每一天降雨的概率均為40%，該營銷部門通過設計模擬實驗的方法研究三天中恰有兩天降雨的概率，利用計算機產生0到9之間取整數值的隨機數，并用1，2，3，4，表示下雨，其余6個數字表示不下雨，產生了20組隨機數：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
求由隨機模擬的方法得到的概率值；
（Ⅱ）經過數據分析，一天內降雨量的大小x（單位：毫米）與其出售的快餐份數y成線性相關關系，該營銷部門統計了降雨量與出售的快餐份數的數據如下：

降雨量（毫米）	1	2	3	4	5
快餐數（份）	50	85	115	140	160

試建立y關于x的回歸方程，為盡量滿足顧客要求又不造成過多浪費，預測降雨量為6毫米時需要準備的快餐份數．（結果四舍五入保留整數）
附注：回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}}-\overline x{）^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）找出上述隨機數中滿足條件的數據，計算對應概率值；
（Ⅱ）計算平均數和回歸系數，寫出y關于x的回歸方程，利用回歸方程計算x=6時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）上述20組隨機數中恰好含有1，2，3，4中的兩個數的有
191  271  932  812  393，共5個，
所以三天中恰有兩天下雨的概率的近似值為
$P=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）由題意可知$\overline x=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，
$\overline{y}=\frac{50+85+115+140+160}{5}=110$，
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{275}{10}=27.5$，
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=27.5$；
所以，y關于x的回歸方程為：$\hat y=27.5x+27.5$．
將降雨量x=6代入回歸方程得：$\hat y=27.5×6+27.5=192.5≈193$．
所以預測當降雨量為6毫米時需要準備的快餐份數為193份．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了古典概型的概率計算問題．