Question

3．已知數列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2ⁿ-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）試比較$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$與2的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）數列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2ⁿ-1．n≥2時，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+1}{n}$=2^n-1-1.$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2^n-1．可得：a_n=（n+1）2^n-1-1．當n=1時，驗證即可得出．
（2）n=1時，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1＜2．n=2時，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$=1+$\frac{2}{5}$＜2．n≥3時，$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）•{2}^{n-1}-1}$≤$\frac{n}{n•{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）數列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2ⁿ-1．
n≥2時，$\frac{{a}_{1}+1}{2}$+$\frac{{a}_{2}+1}{3}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+1}{n}$=2^n-1-1．
∴$\frac{{a}_{n}+1}{n+1}$=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1．
∴a_n+1=（n+1）2^n-1，可得：a_n=（n+1）2^n-1-1．
當n=1時，上式也成立．
∴a_n=（n+1）2^n-1-1．
（2）n=1時，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1＜2．
n=2時，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$=1+$\frac{2}{5}$＜2．
n≥3時，$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）•{2}^{n-1}-1}$≤$\frac{n}{n•{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$≤1+$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=1+$\frac{2}{5}$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜1+$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{2}$＜2．
綜上可得：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$+…+$\frac{n}{{a}_{n}}$＜2．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、求和公式、不等式的性質、放縮法、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．