Question

19．設點P（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x-y≤0\\ x+y-6≤0\end{array}\right.$所表示的平面區域內，則$z=\frac{y}{x}$的取值范圍為（　　）

• A． （2，5）
• B． [2，5）
• C． （2，5]
• D． [2，5]

Answer 1

分析 作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的陰影部分．則$z=\frac{y}{x}$，表示直線的斜率，再將點P移動，觀察傾斜角的變化即可得到k的最大、最小值，從而得到$z=\frac{y}{x}$的取值范圍．

解答 解：設直線y+x=6與直線x=1交于點A，直線2x=y與直線x=1交于點B，
可得A（1，5），B（1，2），
不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x-y≤0\\ x+y-6≤0\end{array}\right.$表示的平面區域如圖：
則$z=\frac{y}{x}$的幾何意義是可行域內的P（x，y）與坐標原點連線的斜率，
由可行域可得k的最大值為：k_OA=5，k的最小值k_OB=2．
因此，$z=\frac{y}{x}$的取值范圍為[2，5]
故選：D．

點評 本題給出二元一次不等式組，求目標函數$z=\frac{y}{x}$的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題．