Question

16．已知函數f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線l垂直于直線y=x，求實數a的值及直線l的方程；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若x＞1，求證：lnx＜x-1．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據切線的斜率求出a的值，從而求出函數的切點，求出切線方程即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（3）由a=1時，f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）上單調遞減，得到f（x）＜f（1），從而證明結論．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+1（a∈R），定義域為（0，+∞），
∴${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a$，
∴函數f（x）的圖象在x=1處的切線l的斜率k=f′（1）=1-a，
∵切線l垂直于直線y=x，
∴1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=lnx-2x+1，f（1）=-1，
∴切點為（1，-1），
∴切線l的方程為y+1=-（x-1），
即x+y=0．
（2）由（1）知：${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a$，x＞0
當a≤0時，${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，此時f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；
當a＞0時，${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}=\frac{{-a（x-\frac{1}{a}）}}{x}$
若$0＜x＜\frac{1}{a}$，則f′（x）＞0；若$x＞\frac{1}{a}$，則f′（x）＜0，
此時，f（x）的單調遞增區間是$（0，\frac{1}{a}）$，單調遞減區間是 $（\frac{1}{a}，+∞）$，
綜上所述：
當a≤0時，f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；
當a＞0時，f（x）的單調遞增區間是$（0，\frac{1}{a}）$，單調遞減區間是 $（\frac{1}{a}，+∞）$．
（3）由（2）知：當a=1時，f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）上單調遞減，
∴x＞1時，f（x）＜f（1）=ln1-1+1=0，
∴x＞1時，lnx-x+1＜0，即lnx＜x-1．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．