Question

4．已知函數f（x）=alnx+$\frac{2x+1}{x}$（a∈R）在x=2處的切線與直線4x+y=0垂直．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若存在x∈（1，+∞），使f（x）$＜\frac{m（x-1）+2}{x}$（m∈Z）成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據f′（2）的值，求出a，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）問題轉化為存在x∈（1，+∞），使$m＞\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$成立，得到m＞g（x）_min，設$g（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，根據函數的單調性求出g（x）的最小值，求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{ax-1}{x^2}$，
由已知，$f'（2）=\frac{2a-1}{4}=\frac{1}{4}$，解得：a=1，
∴$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，
當x∈（0，1]時，f'（x）≤0，f （x）是減函數，
當x∈[1，+∞）時，f'（x）≥0，f （x）是增函數，
∴函數f （x）的單調遞減區間是（0，1]，單調遞增區間是[1，+∞）．
（Ⅱ）解：∵x∈（1，+∞），
∴$f（x）＜\frac{m（x-1）+2}{x}$等價于$m＞\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$，
即存在x∈（1，+∞），使$m＞\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$成立，
∴m＞g（x）_min，
設$g（x）=\frac{xlnx+2x-1}{x-1}（x＞1）$，
則$g'（x）=\frac{x-2-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}$，
設h（x）=x-2-lnx（x＞1），
則$h'（x）=1-\frac{1}{x}＞0$
∴h （x）在（1，+∞）上單調遞增，
又h （3）＜0，h （4）＞0，
∴h （x）在（1，+∞）上有唯一零點，
設為x₀，則x₀-2=lnx₀，且x₀∈（3，4），
$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=\frac{{{x_0}ln{x_0}+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}=\frac{{{x_0}（{x_0}-2）+2{x_0}-1}}{{{x_0}-1}}={x_0}+1$，
又m＞x₀+1，
∴m的最小值是5．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，考查函數存在性問題，是一道中檔題．