Question

17．已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有兩個相等實數根
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出符合條件的所有m，n的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由方程ax²+bx-2x=0有等根，則△=0，得b，又由f（x-1）=f（3-x）知此函數圖象的對稱軸方程為x=-$\frac{b}{2a}$=1，得a，從而求得f（x）．
（Ⅱ）由f（x）=-（x-1）²+1≤1，知4n≤1，即n≤$\frac{1}{4}$．由對稱軸為x=1，知當n≤$\frac{1}{4}$時，f（x）在[m，n]上為增函數，得到關于m，n的方程組，最后看是否滿足m＜n≤$\frac{1}{4}$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（-x+3）=f（x-1），
∴對稱軸是x=1，
得到-$\frac{b}{2a}$=1 ①
∵方程f（x）=2x有兩個相等的實數根，
即ax²+（b-2）x=0有兩個相等的實數根，
∴△=（b-2）²=0，∴b=2，代入①，
解得a=-1，
∴f（x）=-x²+2x；
（Ⅱ）∵f（x）=-（x-1）²+1≤1，
∴4n≤1，即n≤$\frac{1}{4}$，
而拋物線y=-x²+2x的對稱軸為x=1，
∴當n≤$\frac{1}{4}$時，f（x）在[m，n]上為增函數．
若滿足題設條件的m，n存在，
則 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=4m}\\{f（n）=4n}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{{-m}^{2}+2m=4m}\\{{-n}^{2}+2n=4n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$又m＜n≤$\frac{1}{4}$．
∴m=-2，n=0，這時，定義域為[-2，0]，值域為[-8，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點評 本題主要考查函數與方程的綜合運用，還考查了二次函數解析式的常用解法及分類討論，轉化思想．