Question

12．已知點(diǎn)P（x，y）是圓x²+y²=2y上的動(dòng)點(diǎn)，
（1）求2x+y的取值范圍；
（2）若x+y+a≥0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由圓的普通方程寫出圓的參數(shù)方程，分析可得$2x+y=2cosθ+sinθ+1=\sqrt{5}sin（θ+φ）+1$，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析可得若x+y+a≥0有解，則有$\begin{array}{l}a≥-（cosθ+sinθ）-1=-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-1\end{array}$有解，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，圓的方程為x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1，
設(shè)圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$，
則$2x+y=2cosθ+sinθ+1=\sqrt{5}sin（θ+φ）+1$，
∴$-\sqrt{5}+1≤2x+y≤\sqrt{5}+1$，
即2x+y的取值范圍為[-$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$+1]；
（2）若x+y+a≥0有解，
則有x+y+a=cosθ+sinθ+1+a≥0，
即$\begin{array}{l}a≥-（cosθ+sinθ）-1=-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）-1\end{array}$有解，
∴a≥-$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解參數(shù)方程的意義．