Question

7．已知${\vec e_1}$，${\vec e_2}$是同一平面內兩個不共線的向量，
（1）如果$\overrightarrow{AB}$=${\vec e_1}$+${\vec e_2}$，$\overrightarrow{CB}$=2${\vec e_1}$-${\vec e_2}$，$\overrightarrow{CD}$=4${\vec e_1}$+${\vec e_2}$，求證A、B、D三點共線；
（2）試確定實數k的值，使$k{\vec e_1}+4{\vec e_2}$和${\vec e_1}+k{\vec e_2}$共線．

Answer 1

分析 （1）證明$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$共線即可；
（2）利用向量共線定理和平面向量基本定理即可得出．

解答 （1）證明：∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$=$2\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}=2\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BD}$共線，又$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BD}$有公共點B，
∴A，B，D三點共線；
（2）解：∵若使$k{\vec e_1}+4{\vec e_2}$和${\vec e_1}+k{\vec e_2}$共線．
∴存在實數λ，使得$k{\vec e_1}+4{\vec e_2}$=λ（${\vec e_1}+k{\vec e_2}$）成立，
∴$（k-λ）\overrightarrow{{e}_{1}}+（4-λk）\overrightarrow{{e}_{2}}=0$．
∵${\vec e_1}$，${\vec e_2}$是同一平面內兩個不共線的向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-λ=0}\\{4-λk=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=±2}\\{k=±2}\end{array}\right.$．
∴實數k的值是±2．

點評 本題考查了平面向量的共線定理及其應用，是基礎題．