Question

12．為了解喜好體育運動是否與性別有關，某報記者隨機采訪50個路人，將調查情況進行整理后制成下表：

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）  15	[45，55）	[55，65）	[65，75）
頻數	5	10	8	10	5	5
喜好人數	4	6		6	3	3

（1）在調查的結果中，喜好體育運動的女性有10人，不喜好體育運動的男性有5人，請將下面的2×2列聯表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜好體育運動與性別有關？說明你的理由；

	喜好體育運動	不喜好體育運動	合計
男生		5
女生	10
合計			50

（2）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調查者中各隨機選取兩人進行追蹤調查，記選中的4人中不喜好體育運動的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據頻率分布表，計算喜好體育運動和不喜好體育運動的人數，填寫列聯表，計算K²，對照臨界值得出結論；
（2）根據題意知隨機變量X的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）根據頻率分布表知，喜好體育運動的人數為30，則不喜好體育運動的人數為20，
填寫2×2列聯表如下：

	喜好體育運動	不喜好體育運動	合計
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合計	30	20	50

根據列聯表中數據，計算
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50{×（20×15-10×5）}^{2}}{30×20×25×25}$=3＜7.879，
對照臨界值知，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，不能認為喜好體育運動與性別有關；
（2）從年齡在[15，25），[25，35）的被調查者中各隨機選取兩人進行追蹤調查，
記選中的4人中不喜好體育運動的人數為X，
依題意得X=0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{15}{75}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{34}{75}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{22}{75}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{4}{75}$，
∴X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{15}{75}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{4}{75}$

∴X的數學期望EX=0×$\frac{15}{75}$+1×$\frac{34}{75}$+2×$\frac{22}{75}$+3×$\frac{4}{75}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算問題，是中檔題．