Question

5．已知向量$\overrightarrow p=（{2，-1}），\overrightarrow q=（{x，2}）$，且$\overrightarrow p⊥\overrightarrow q$，則$|{\overrightarrow p+λ\overrightarrow q}|（{λ∈R}）$的最小值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據題意，由向量$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$的坐標以及$\overrightarrow p⊥\overrightarrow q$，分析可得$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2x-2=0，解可得x=1，進而可得$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$=（2+λ，-1+2λ），由向量模的計算公式可得|$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$|=$\sqrt{（2+λ）^{2}+（-1+2λ）^{2}}$=$\sqrt{5{λ}^{2}+5}$，由二次函數的性質分析可得答案．

解答 解：根據題意，向量$\overrightarrow p=（{2，-1}），\overrightarrow q=（{x，2}）$，且$\overrightarrow p⊥\overrightarrow q$，
則$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2x-2=0，解可得x=1，
即$\overrightarrow{q}$=（1，2），則$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$=（2+λ，-1+2λ），
則|$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$|=$\sqrt{（2+λ）^{2}+（-1+2λ）^{2}}$=$\sqrt{5{λ}^{2}+5}$≥$\sqrt{5}$，
即$|{\overrightarrow p+λ\overrightarrow q}|（{λ∈R}）$的最小值為$\sqrt{5}$；
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系、數量積的性質、二次函數的單調性，關鍵是求出x的值．