Question

19．已知函數f（x）=-x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）在區間（-∞，0）內單調遞減，在區間（0，1）內單調遞增，且f（x）在R上有三個零點，1是其中一個零點．
（1）求f（3）的取值范圍；
（2）若直線l：y=x-1在曲線C：x=f（x）的上方部分所對應的x的集合（-∞，1），試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將b的值代入f（x）中，將x=1代入得到a，c的關系，求出導函數的兩個根即函數的兩個極值點，利用函數的單調性，判斷出極值點與單調區間的關系，列出不等式求出f（3）的范圍即可；
（2）問題轉化為（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0的解集是（-∞，1），根據x的范圍得出矛盾，得到a的值不存在．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=-3x²+2ax+b，
∵f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，
∴當x=0時，f（x）取到極小值，即f'（0）=0
∴b=0．
∴f（x）=-x³+ax²+c
∵1是函數f（x）的一個零點，即f（1）=0，
∴c=1-a，
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的兩個根分別為x₁=0，x₂=$\frac{2a}{3}$，
又∵f（x）在（0，1）上是增函數，且函數f（x）在R上有三個零點，
∴x₂=$\frac{2a}{3}$＞1，即a＞$\frac{3}{2}$，
∴f（3）=8a-26＞-14；
（2）由直線l：y=x-1在曲線C：y=f（x）的上方的部分對應的x的集合為（-∞，1），
得x-1＞-x³+ax²+1-a，即（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0的解集是（-∞，1），
∵x＜1時，x-1＜0，
而x＜1時，x²+（1-a）x+2-a必存在正值，
故（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0的解集不可能是（-∞，1），
故a無解．

點評 本題考查了函數的單調性、零點問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．