Question

18．設等差數列{a_n}的公差d＞0，且a₁＞0，記T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$．
（1）用a₁、d分別表示T₁、T₂、T₃，并猜想T_n；
（2）用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用裂項法計算T₁、T₂、T₃，并猜想結論；
（2）先驗證n=1，再假設n=k猜想成立，推導n=k+1猜想成立．

解答 解：（1）T₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+d）}$；
T₂=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{1}p9vv5xb5$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$）+$\frac{1}p9vv5xb5$（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$）=$\frac{1}p9vv5xb5$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{3}}$）=$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{3}}$=$\frac{2}{{a}_{1}（{a}_{1}+2d）}$；
T₃=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$=$\frac{1}p9vv5xb5$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$）+$\frac{1}p9vv5xb5$（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$）+$\frac{1}p9vv5xb5$（$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{4}}$）=$\frac{1}p9vv5xb5$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{4}}$）=$\frac{3}{{a}_{1}{a}_{4}}$=$\frac{3}{{a}_{1}（{a}_{1}+3d）}$；
由此可猜想T_n=$\frac{n}{{a}_{1}（{a}_{1}+nd）}$．
（2）證明：①當n=1時，T₁=$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+d）}$，結論成立，
②假設當n=k時（k∈N^*）時結論成立，
即T_k=$\frac{k}{{a}_{1}（{a}_{1}+kd）}$，
則當n=k+1時，T_k+1=T_k+$\frac{1}{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$=$\frac{k}{{a}_{1}（{a}_{1}+kd）}$+$\frac{1}{（{a}_{1}+kd）[{a}_{1}+（k+1）d]}$=$\frac{k[{a}_{1}+（k+1）d]+{a}_{1}}{{a}_{1}（{a}_{1}+kd）[{a}_{1}+（k+1）d]}$
=$\frac{（{a}_{1}+kd）（k+1）}{{a}_{1}（{a}_{1}+kd）[{a}_{1}+（k+1）d]}$=$\frac{k+1}{{a}_{1}[{a}_{1}+（k+1）d]}$．
即n=k+1時，結論成立．
由①②可知，T_n=$\frac{1}{{a}_{1}（{a}_{1}+nd）}$對于一切n∈N^*恒成立．

點評 本題考查了數學歸納法證明，屬于基礎題．