Question

1．若實數x，y滿足（x-4）²+（y-8）²=4，則$\frac{y}{x-4}$的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{15}$]∪[$\sqrt{15}$，+∞）．

Answer 1

分析 設k=$\frac{y-0}{4-0}$=$\frac{y}{x-4}$，則它表示圓（x-4）²+（y-8）²=4上的點M（x，y）與A（4，0）連線的斜率，故當AM為圓的切線時，k取得最值，數形結合，根據圓心C到直線AM的距離等于半徑，求得k的值，可得要求式子的取值范圍．

解答 解：由題意可得$\frac{y}{x-4}$表示圓（x-4）²+（y-8）²=4上的點M（x，y）與A（4，0）連線的斜率，
如圖所示，圓心C（4，8），半徑為2，當M是直線AM和圓的切點時，
直線AM的斜率 k=$\frac{y-0}{4-0}$=$\frac{y}{x-4}$取得最值，
直線AM的方程為y-0=k（x-4），即kx-y-4k=0，
由圓心C到直線AM的距離等于半徑，可得$\frac{|4k-8-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=±$\sqrt{15}$，
故$\frac{y}{x-4}$的取值范圍是 （-∞，-$\sqrt{15}$]∪[$\sqrt{15}$，+∞），
故答案為：（-∞，-$\sqrt{15}$]∪[$\sqrt{15}$，+∞）．

點評 本題主要考查直線的斜率的斜率公式，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．