Question

10．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，動點E和F分別在線段BC和DC上，且$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{DF}=\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{27}{18}$
• B． $\frac{29}{18}$
• C． $\frac{17}{18}$
• D． $\frac{13}{18}$

Answer 1

分析 利用等腰梯形的性質結合向量的數量積公式將所求表示為關于λ的代數式，
再根據基本不等式求最小值即可．

解答 解：如圖所示，
等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，
所以AD=BC=CD=1，
所以$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{DC}$）
=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DC}$+λ$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{DC}$
=2×1×cos60°+$\frac{1}{9λ}$×2×1+λ×1×1×cos60°+$\frac{1}{9}$×1×1×cos120°
=1+$\frac{2}{9λ}$+$\frac{λ}{2}$-$\frac{1}{18}$≥$\frac{17}{18}$+2$\sqrt{\frac{2}{9λ}•\frac{λ}{2}}$=$\frac{29}{18}$，
當且僅當$\frac{2}{9λ}$=$\frac{λ}{2}$，即λ=$\frac{2}{3}$時等號成立．
故選：B．

點評 本題考查了等腰梯形的性質以及向量的數量積公式的運用問題，也考查了基本不等式求最值問題．