Question

20．若關于x的方程xlnx-kx+1=0在區間[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個不等實根，則實數k的取值范圍是（1，1+$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 分類參數可得k=lnx+$\frac{1}{x}$，判斷f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上的單調性和極值，根據解得個數得出k的范圍．

解答 解：由xlnx-kx+1=0得k=lnx+$\frac{1}{x}$，
令f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，則f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$．
∴當$\frac{1}{e}＜x＜1$時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當1＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴當x=1時，f（x）取得最小值f（1）=1，
又f（$\frac{1}{e}$）=-1+e，f（e）=1+$\frac{1}{e}$．
∴f（e）＜f（$\frac{1}{e}$）．
∵關于x的方程xlnx-kx+1=0在區間[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個不等實根，
∴f（x）=k有兩解，
∴1＜k≤1+$\frac{1}{e}$．
故答案為：（1，1+$\frac{1}{e}$]．

點評 本題考查了方程根與函數單調性，極值的關系，屬于中檔題．