Question

12．若不等式[2tx²-（t²-1）x+2]•lnx≤0對任意x∈（0，+∞）恒成立，則實數t的值是-1．

Answer 1

分析 由題意可得當lnx≥0，即x≥1時，2tx²-（t²-1）x+2≤0恒成立．討論t的符號，可得t＜0，由2t-（t²-1）+2≤0，解得t≤-1，檢驗x≥1時，不等式恒成立；討論0＜x＜1時，2tx²-（t²-1）x+2≥0恒成立．考慮t的范圍和對稱軸與區間（0，1）的關系，可得2t-（t²-1）+2≥0，解不等式即可得到所求t的值．

解答 解：不等式[2tx²-（t²-1）x+2]•lnx≤0對任意x∈（0，+∞）恒成立，
當lnx≥0，即x≥1時，2tx²-（t²-1）x+2≤0恒成立．
當t≥0時，2tx²-（t²-1）x+2≤0不恒成立，
則t＜0，且2t-（t²-1）+2≤0，解得t≤-1或t≥3（舍去），
當t≤-1時，對稱軸x=$\frac{{t}^{2}-1}{4t}$＜0＜1，y=2tx²-（t²-1）x+2在x≥1遞減，
2tx²-（t²-1）x+2≤0恒成立；
當lnx＜0，即0＜x＜1時，2tx²-（t²-1）x+2≥0恒成立．
由題意可得t≤-1，
且對稱軸x=$\frac{{t}^{2}-1}{4t}$＜0，y=2tx²-（t²-1）x+2在0＜x＜1遞減，
則2t•0-（t²-1）•0+2≥0，且2t-（t²-1）+2≥0，解得-1≤t≤3，
綜上可得-1≤t≤-1，即為t=-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉化思想和二次函數的圖象和性質，以及分類討論思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．