Question

5．已知函數g（x）=x²+bx+c，且關于x的不等式g（x）＜0的解集為（-$\frac{7}{9}$，0）．
（1）求實數b，c的值；
（2）若不等式0≤g（x）-$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＜$\frac{2}{9}$對于任意n∈N^*恒成立，求滿足條件的實數x的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得0和-$\frac{7}{9}$為方程x²+bx+c=0的兩根，運用韋達定理可得b，c的值；
（2）由題意可得$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$≤x²+$\frac{7}{9}$x，且$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＞x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$對于任意n∈N^*恒成立，將$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$分子常數化，由對勾函數的單調性，可得它的范圍，由恒成立思想可得x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$=0，解方程即可得到所求x的值．

解答 解：（1）函數g（x）=x²+bx+c，且關于x的不等式g（x）＜0的解集為（-$\frac{7}{9}$，0）．
可得0和-$\frac{7}{9}$為方程x²+bx+c=0的兩根，
可得0-$\frac{7}{9}$=-b，0×（-$\frac{7}{9}$）=c，
即有b=$\frac{7}{9}$，c=0；
（2）不等式0≤g（x）-$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＜$\frac{2}{9}$對于任意n∈N^*恒成立，
即為$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$≤x²+$\frac{7}{9}$x，且$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＞x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$對于任意n∈N^*恒成立，
由$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{{4}^{n}+{2}^{n+1}+1}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$，
由n∈N^*，可得2ⁿ≥2，2ⁿ+$\frac{1}{{2}^{n}}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
可得0＜$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$≤$\frac{2}{9}$，
則$\frac{2}{9}$≤x²+$\frac{7}{9}$x，且x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$≤0，
即為x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$=0，
解得x=-1或$\frac{2}{9}$．

點評 本題考查二次不等式與二次方程的關系，考查韋達定理的運用，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉化思想和對勾函數的單調性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．