Question

16．已知橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線x+y+1=0與以橢圓C的上焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P為橢圓C上一點，若過點M（0，2）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點S和T，滿足$\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OT}=t\overrightarrow{OP}$（O為坐標原點），求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓心到直線x+y+1=0的距離$d=\frac{{|{c+1}|}}{{\sqrt{2}}}=a$，由橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，知b=c，由此能求出橢圓方程．
（2）當直線l的斜率不存在時，可得t=0；當直線l的斜率存在時，t≠0，設直線l方程為y=kx+2，設P（x₀，y₀），將直線方程代入橢圓方程得：（k²+2）x²+4kx+2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識，結合已知條件能求出實數t的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，以橢圓C的上焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為x²+（y-c）²=a²，
∴圓心到直線x+y+1=0的距離$d=\frac{{|{c+1}|}}{{\sqrt{2}}}=a$
∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，
∴b=c，$a=\sqrt{2}b=\sqrt{2}c$，代入得b=c=1，∴$a=\sqrt{2}b=\sqrt{2}$，
故所求橢圓方程為$\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$…（4分）
（2）當直線l的斜率不存在時，可得t=0，適合題意．…（5分）
當直線l的斜率存在時，t≠0，設直線l方程為y=kx+2，設P（x₀，y₀），
將直線方程代入橢圓方程得：（k²+2）x²+4kx+2=0，…（6分）
∴△=16k²-8（k²+2）=8k²-16＞0，∴k²＞2．
設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{-4k}{{{k^2}+2}}，{x_1}{x_2}=\frac{2}{{{k^2}+2}}$，…（7分）
由$\overrightarrow{OS}+\overrightarrow{OT}=t\overrightarrow{OP}$，
當t≠0，得$\left\{\begin{array}{l}t{x_0}={x_1}+{x_2}=\frac{-4k}{{{k^2}+2}}\\ t{y_0}=k（{x_1}+{x_2}）+4=\frac{8}{{{k^2}+2}}\end{array}\right.$…（8分）
整理得：${t^2}=\frac{16}{{{k^2}+2}}$，由k²＞2知，0＜t²＜4，…（10分）
所以t∈（-2，0）∪（0，2），…（11分）
綜上可得t∈（-2，2）．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程求法，考查實數的取值范圍的求法，考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、向量知識等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．