Question

13．已知定義在R上的函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[0，1）\\ 2-{x^2}，x∈[-1，0）\end{array}\right.$且f（x+2）=f（x）．若方程f（x）-kx-2=0有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（-1，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 利用周期作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和交點個數(shù)判斷k的范圍．

解答 解：由f（x+2）=f（x）可知f（x）周期為2，
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

不妨設(shè)k＞0，∵方程f（x）-kx-2=0有三個不相等的實數(shù)根，
∴直線y=kx+2與f（x）的圖象有三個交點，
∴$\frac{1}{3}＜k＜1$，
同理，當(dāng)k＜0時，-1$＜k＜-\frac{1}{3}$．
故答案為：（-1，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)周期性的應(yīng)用，屬于中檔題．