Question

18．已知二次函數f（x）=ax²+bx+3，不等式f（x）＞0的解集是{x|-1＜x＜3}
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知g（x）=（1-m）x+2m+5，若對任意x＞2，f（x）≤g（x）都成立，則實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}=2}\\{\frac{3}{a}=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）≤g（x）⇒-x²+2x+3≤（1-m）x+2m+5，即x²-（m+1）x+2m+2≥0，構造函數h（x）=x²-（m+1）x+2m+2，其圖象的對稱軸方程為x=$\frac{m+1}{2}$，則問題轉化為對?x＞2，函數h（x）≥0恒成立，列出關系式，解之即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}=2}\\{\frac{3}{a}=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，所以f（x）=-x²+2x+3，…4分
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得：-x²+2x+3≤（1-m）x+2m+5，
化簡得：x²-（m+1）x+2m+2≥0，
設h（x）=x²-（m+1）x+2m+2，其圖象的對稱軸方程為x=$\frac{m+1}{2}$，
則問題轉化為對?x＞2，函數h（x）≥0恒成立，即①$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{2}≤2}\\{h（2）≥0}\end{array}\right.$，解得m≤3；…6分
或②$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{2}＞2}\\{h（\frac{m+1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，解得3＜m≤7…11分
綜上得，實數m的取值范圍是（-∞，7]…12分

點評 本題考查函數恒成立問題，突出考查二次函數的性質，考查等價轉化思想、函數與方程思想的綜合運用，屬于中檔題．