Question

7．一次考試中，五名學生的數學、物理成績如下表所示：

學生	A	B	C	D	E
數學成績x（分）	89	91	93	95	97
物理成績y（分）	87	89	89	92	93

（1）根據上表數據在圖中作散點圖，求y與x的線性回歸方程；
（2）要從5名學生中選2人參加一項活動，求選中的學生中至少有一人的物理成績高于90分的概率．
參考公式：回歸直線的方程：$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，其中$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）把所給的五組數據作為五個點的坐標描到直角坐標系中，得到散點圖；根據所給的數據先做出數據的平均數，即樣本中心點，根據最小二乘法做出線性回歸方程的系數，寫出線性回歸方程；
（2）用列舉法可得從5名學生中任取2名學生的所有情況和其中至少有一人物理成績高于90分的情況包含的事件數目，由古典概型公式，計算可得答案．

解答 解：（1）散點圖如圖所示：

可求得：$\overline{x}$=$\frac{89+91+93+95+97}{5}=93$，$\overline{y}=\frac{87+89+89+92+93}{5}=90$，$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=40$，$\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}=30$．
根據所給的數據，可以計算出$\widehatb=\frac{30}{40}=0.75$，$\widehata=90-0.75×93=20.25$，
∴y與x的線性回歸方程為$\widehaty=0.75x+20.25$．
（2）從5名學生中，任取2名學生的所有取法為（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（C，D）、（C，E）、（D，E），共有10種情況，
其中至少有一人的物理成績高于90分的情況是（A，D）、（A，E）、（B，D）、（B，E）、（C，D）、（C，E）、（D，E），共計7種，
因此選中的學生中至少有一人的物理成績高于90分的概率$\frac{7}{10}$．

點評 本題主要考查了線性回歸方程和古典概型等知識，考查了學生的數據處理能力和計算能力，是中檔題．