Question

15．設函數f（x）=2017x+sin²⁰¹⁷x，g（x）=log₂₀₁₇x+2017^x，則（　　）

• A． 對于任意正實數x恒有f（x）≥g（x）
• B． 存在實數x₀，當x＞x₀時，恒有f（x）＞g（x）
• C． 對于任意正實數x恒有f（x）≤g（x）
• D． 存在實數x₀，當x＞x₀時，恒有f（x）＜g（x）

Answer 1

分析 設h（x）=f（x）-g（x）=2017x+sin²⁰¹⁷x-log₂₀₁₇x-2017^x，x＞0，求出h（1）和h（2）的符號，以及h（x）的導數，判斷單調性，由零點存在定理即可得到結論．

解答 解：設h（x）=f（x）-g（x）=2017x+sin²⁰¹⁷x-log₂₀₁₇x-2017^x，x＞0，
由h（1）=2017+sin²⁰¹⁷1-log₂₀₁₇1-2017=sin²⁰¹⁷1＞0，
h（2）=2017×2+sin²⁰¹⁷2-log₂₀₁₇2-2017²＜0，
可得h（1）h（2）＜0，
且h′（x）=2017+2017sin²⁰¹⁶x•cosx-$\frac{1}{xln2017}$-2017^x•ln2017＜0，
可得h（x）在（1，2）遞減，
可得h（x）在（1，2）有一個零點，設為x₀，
且當x＞x₀時，h（x）＜h（x₀）=0，即f（x）＜g（x），
故選：D．

點評 本題考查函數的零點存在定理和函數的單調性的判斷和運用，考查運算能力，屬于中檔題．