Question

10．如圖所示，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A₁、A₂、B₁、B₂是橢圓的四個頂點，且$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）P是橢圓C上異于頂點的任意點，直線B₂P交x軸于點Q，直線A₁B₂交A₂P于點E，設A₂P的斜率為k，EQ的斜率為m，問：2m-k能不能為定值？若能為定值，請求出這個定值；若不能為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{2}}$=3．列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由A₁（-2，0）、A₂（2，0）、B₁（0，-1）、B₂（0，1），得直線A₂P的方程為y=k（x-2），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，由此利用韋達定理、直線方程、直線的斜率公式，結合已知條件能求出2m-k為定值．

解答 解：（1）∵$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}⇒{a^2}=4{b^2}$①（1分）
由已知，A₁（-a，0）、A₂（a，0）、B₁（0，-b）、B₂（0，b）
∴$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}=（a，-b），\overrightarrow{{A_1}{B_2}}=（a，b）$
由$\overrightarrow{{A_1}{B_1}}•\overrightarrow{{A_1}{B_2}}=3$得a²-b²=3．②（3分）
由①②得：a=2，b=1，∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．（4分）
證明：（2）由（1）知，A₁（-2，0）、A₂（2，0）、B₁（0，-1）、B₂（0，1）
∴直線A₂P的方程為y=k（x-2）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0（6分）
設P（x₁，y₁），則${x_1}+2=\frac{{16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}⇒{x_1}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+4{k^2}}}$，∴$P（\frac{{8{k^2}-2}}{{1+4{k^2}}}，\frac{-4k}{{1+4{k^2}}}）$
直線B₂P的方程為$y-1=\frac{{4{k^2}+4k+1}}{{2-8{k^2}}}x$，即$y=-\frac{2k+1}{4k-2}x+1（k≠\frac{1}{2}）$
令y=0，得$x=\frac{4k-2}{2k+1}$，即$Q（\frac{4k-2}{2k+1}，0）$（8分）
直線A₁B₂的方程為x-2y+2=0
由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+2=0\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$得：$E（\frac{4k+2}{2k-1}，\frac{4k}{2k-1}）$（10分）
∴直線EQ的斜率$m=\frac{{-\frac{4k}{2k-1}}}{{\frac{4k-2}{2k+1}-\frac{4k+2}{2k-1}}}=\frac{2k+1}{4}$，
∴$2m-k=2•\frac{2k+1}{4}-k=\frac{1}{2}$，是定值．（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率組合的代數式是否為定值的判斷與求法，考查橢圓性質、直線方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．