Question

3．設a∈R，函數f（x）=|x²-2ax|，方程f（x）=ax+a的四個實數解滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：f（x₄）＞$\frac{76}{3}$+8$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）的圖象與直線y=ax+a有4個交點可知a＞0，利用導數求出f（x）的過點（-1，0）的切線斜率，列出不等式得出a的范圍；
（2）求方程組，用a表示出x₄，得出f（x₄）關于a的函數，利用單調性得出結論．

解答 解：（1）若a=0，則f（x）=x²，顯然直線y=ax+a與f（x）不可能有4個交點，不符合題意；
若a＜0，作出f（x）=|x²-2ax|的函數圖象，則直線y=ax+a與f（x）的圖象不可能有4個交點，不符合題意；

若a＞0，作出f（x）的函數圖象如圖所示：

當0＜x＜2a時，f（x）=-x²+2ax，
設直線y=k（x+1）與y=f（x）在（0，2a）上的函數圖象相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{0}+2a=k}\\{-{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}={y}_{0}}\\{k{x}_{0}+k={y}_{0}}\end{array}\right.$，解得k=2a+2-2$\sqrt{2a+1}$，
∴a＜2a+2-2$\sqrt{2a+1}$，解得a＞4．
（2）聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+a}\\{y={x}^{2}-2ax}\end{array}\right.$，得x²-3ax-a=0，解得x=$\frac{3a±\sqrt{9{a}^{2}+4a}}{2}$，
∴x₄=$\frac{3a+\sqrt{9{a}^{2}+4a}}{2}$．
∴f（x₄）=ax₄+a=$\frac{3{a}^{2}}{2}$+$\frac{a\sqrt{9{a}^{2}+4a}}{2}$+a，
令g（a）=$\frac{3{a}^{2}}{2}$+$\frac{a\sqrt{9{a}^{2}+4a}}{2}$+a，則g（a）在（4，+∞）上單調遞增，
∴g（a）＞g（4）=28+8$\sqrt{10}$＞$\frac{76}{3}$+8$\sqrt{10}$．
∴f（x₄）＞$\frac{76}{3}$+8$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了方程解與函數圖象的關系，導數的幾何意義，函數單調性與最值的計算，屬于中檔題．