Question

8．如圖：已知拋物線 C₁：y²=2px （p＞0），直線 l 與拋物線 C 相交于 A、B 兩點，且當傾斜角為 60°的直線 l 經(jīng)過拋物線 C1 的焦點 F 時，有|AB|=$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求拋物線 C 的方程；
（Ⅱ）已知圓 C₂：（x-1）²+y²=$\frac{1}{16}$，是否存在傾斜角不為 90°的直線 l，使得線段 AB 被圓 C₂ 截成三等分？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的性質(zhì)列方程解出p；
（II）設(shè)直線l方程為x=my+b，與拋物線方程聯(lián)立，求出AB的中點坐標，利用垂徑定理列方程得出m，b的關(guān)系，利用弦長公式計算|AB|，|CD|，根據(jù)|AB|=3|CD|列方程求出m得出直線l的方程．

解答 解：（I）當直線l的傾斜角為60°時，直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消元得3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
∴|AB|=$\frac{5p}{3}$+p=$\frac{1}{3}$，解得p=$\frac{1}{8}$，
∴拋物線C的方程為y²=$\frac{x}{4}$．
（II）假設(shè)存在直線l，使得AB被圓C₂三等分，設(shè)直線l與圓C₂的交點為C，D，
設(shè)直線l的方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=\frac{x}{4}}\\{x=my+b}\end{array}\right.$，得4y²-my-b=0，
∴y₁+y₂=$\frac{m}{4}$，y₁y₂=-$\frac{4}$，∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2b=$\frac{{m}^{2}}{4}$+2b，
∴AB的中點坐標為M（$\frac{{m}^{2}}{8}$+b，$\frac{m}{8}$），
又圓C₂的圓心為C₂（1，0），∴k${\;}_{M{C}_{2}}$=$\frac{\frac{m}{8}}{\frac{{m}^{2}}{8}+b-1}=-m$，
即m²+8b-7=0，∴b=$\frac{7-{m}^{2}}{8}$．
又|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•$$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{16}+b}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{14-{m}^{2}}$．
∵圓心C₂（1，0）到直線l的距離d=$\frac{|1-b|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，圓C₂的半徑為$\frac{1}{4}$，
∴|CD|=2$\sqrt{\frac{1}{16}-\frac{（1-b）^{2}}{1+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3-{m}^{2}}}{4}$，
又|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•$$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{16}+b}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{14-{m}^{2}}$．C，D為AB的三等分點，
∴|AB|=3|CD|，
∴$\frac{1}{4}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\sqrt{14-{m}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3-{m}^{2}}}{4}$，解得m=±$\sqrt{11-6\sqrt{3}}$，∴b=$\frac{3\sqrt{3}-2}{4}$．
∴直線l的方程為y=±$\sqrt{11-6\sqrt{3}}$x+$\frac{3\sqrt{3}-2}{4}$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．