Question

13．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{x}-\frac{1}{e}，x＜0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$若關于x的方程f（x）=t有三個不同的解，其中最小的解為a，則$\frac{t}{a}$的取值范圍為（-$\frac{1}{{e}^{2}}$，0）．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調性，計算極值，作出f（x）的函數圖象，根據圖象得出t的范圍，求出a，即可得出$\frac{t}{a}$關于t的函數，求出此函數的值域即可．

解答 解：當x＜0時，f（x）為增函數，且當x→-∞時，f（x）→-$\frac{1}{e}$．
當x＞0時，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴當0＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x＞e時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
又當x→0時，f（x）→-∞，當x→+∞時，f（x）→0，
∴當x=e時，f（x）取得極大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）在定義域的函數圖象如圖所示：

∵f（x）=t有三解，∴0$＜t＜\frac{1}{e}$，
令-$\frac{2}{x}-\frac{1}{e}$=t得x=-$\frac{2}{t+\frac{1}{e}}$，即a=-$\frac{2}{t+\frac{1}{e}}$，
∴$\frac{t}{a}$=-$\frac{{t}^{2}}{2}$-$\frac{t}{2e}$，
令g（t）=-$\frac{{t}^{2}}{2}$-$\frac{t}{2e}$，則g（t）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調遞減，
∴-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜g（t）＜0．
故答案為：$（-\frac{1}{e^2}，0）$．

點評 本題考查了方程的根的個數與函數圖象的關系，函數值域的求法，屬于中檔題．