Question

1．已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（0，-1），（0，1）且邊AC，BC所在的直線的斜率之積等于
m（m≠0）
（Ⅰ）求頂點C的軌跡E的方程，并判斷軌跡E的曲線類型；
（Ⅱ）當m=$-\frac{1}{2}$時，過點F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點，設點N關于x軸的對稱點為Q（M，Q不重合），求證：直線MQ與x軸的交點為定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設C（x，y），由題意得-mx²+y²=1（x≠0），由m＜-1，m=-1，-1＜m＜0三種分類討論，能頂點C的軌跡E的方程，并判斷軌跡E的曲線類型．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），（x₁x₂≠0），當m=-$\frac{1}{2}$時，軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$（x≠0），依題意可知直線l的斜率存在且不為0，則可設直線l的方程為x=ty+1，聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（t²+2）y²+2ty-1=0，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出直線MQ與x軸的交點為定點，并能求出該定點的坐標．

解答 解：（Ⅰ）設C（x，y），由已知$\frac{y+1}{x}×\frac{y-1}{x}=m$，即-mx²+y²=1（x≠0），
當m＜-1時，軌跡E表示焦點在y軸，且除去（0，1），（0，-1）兩點的橢圓；
當m=-1時，軌跡E表示以點（0，0）為圓心，以1為半徑，且除去點（0，1），（0，-1）兩點的圓；
當-1＜m＜0，軌跡E表示焦點在y軸，且除去（0，1），（0，-1）兩點的雙曲線．
證明：（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），（x₁x₂≠0），
當m=-$\frac{1}{2}$時，軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$（x≠0），
依題意可知直線l的斜率存在且不為0，則可設直線l的方程為x=ty+1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理，得（t²+2）y²+2ty-1=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2t}{{t}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{t}^{2}+2}$，
∵M、Q不重合，則x₁≠x₂，y₁≠-y₂，
∴直線MQ的方程為y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（x-{x}_{1}）$，
令y=0，得x=x₁+$\frac{{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}^{\;}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=ty₁+1+$\frac{t{y}_{1}（{y}_{2}-{y}_{1}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$•$\frac{2t{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+1=$\frac{2t•\frac{-1}{{t}^{2}+2}}{\frac{-2t}{{t}^{2}+2}}$+1=2，
∴直線MQ與x軸的交點為定點，該定點的坐標為（2，0）．

點評 本題考查頂點的軌跡方程的求法，考查曲線類型的判斷，考查直線與x軸的交點為定點的證明，考查圓錐曲線、直線方程等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．