Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{1}{2}$，直線l過橢圓的右頂點和上頂點，且右焦點到直線l的距離$d=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點坐標原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明點O到直線AB的距離為定值，并求出定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率$e=\frac{1}{2}$，直線l過橢圓的右頂點和上頂點，且右焦點到直線l的距離$d=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，列出方程組，能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）當k存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$聯立，得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）-12=0，由此利用韋達定理、直線垂直、點到直線距離公式求出O到直線AB的距離為定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．當k不存在時，同理得O到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．由此能證明點O到直線AB的距離為定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{1}{2}$，
直線l過橢圓的右頂點和上頂點，且右焦點到直線l的距離$d=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴直線l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，右焦點F（c，0），且c²=a²-b²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{|bc-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{7}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
證明：（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當k存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，
與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$聯立，消去y，得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）-12=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁+m）（kx₂+m）=（k²+1）${x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=0，
∴（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+m²=0，
整理，得7m²=12（k²+1），符合△＞0，
∴O到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴O到直線AB的距離為定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
②當k不存在時，同理得O到直線AB的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
綜上，點O到直線AB的距離為定值$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查點到直線的距離為定值的證明，考查橢圓、韋達定理、直線垂直、點到直線距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．